Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣2，1），且函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈（﹣1，2）時(shí)，g（x）=f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以△=b2﹣4a=0，

所以4a2﹣4a=0，所以a=1，b=2．

所以f（x）=（x+1）2；

（2）解： ，

由g（x）的圖象知，要滿足題意，

則 或 ，即k≥6或k≤0，

∴所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，0]∪[6，+∞）

【解析】（1）由題意可得f（﹣2）=1，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以△=0，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式；（2）求出g（x）的表達(dá)式，配方，求得對(duì)稱軸，討論函數(shù)單調(diào)遞減和遞增，區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，解不等式即可得到所求范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減即可以解答此題．