Question

設函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)的極值點.

（3）設為函數(shù)的極小值點，的圖象與軸交于兩點,且，中點為，

求證：．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求,在上恒成立，反解參數(shù),轉(zhuǎn)化成恒成立問題，利用基本不等式求的最小值問題；

（2）先求函數(shù)的導數(shù)，因為,所以設,分情況討論在不同情況下，的根，通過來討論，主要分以及的情況，求出導數(shù)為0的值，判斷兩側的單調(diào)性是否改變，從而確定極值點；

（3）,兩式相減，結合中點坐標公式，,表示出,設出的能表示正負的部分函數(shù)，再求導數(shù)，利用導數(shù)得出單調(diào)性，從而確定.

試題解析：（1）

依題意得，在區(qū)間上不等式恒成立.

又因為，所以.所以，

所以實數(shù)的取值范圍是. 2分

（2），令

①顯然，當時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點； ..3分

②當時，

（ⅰ）當，即時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點； .4分

（ⅱ）當，即時，

易知，當時，，這時；

當或時，，這時；

所以，當時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點.

綜上，當時，函數(shù)沒有極值點； .6分

當時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點. 8分

（Ⅲ）由已知得兩式相減，

得： ①

由，得 ②得①代入②，得

= 10分

令且

在上遞減， 12分

考點：導數(shù)的綜合性問題