Question

函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由兩函數(shù)圖象的對(duì)稱性知道，它們的交點(diǎn)也有對(duì)稱性，再研究對(duì)稱軸右邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到所求答案．

解答： 解：設(shè)P（x₀，y₀）是函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象上任一點(diǎn)，
則當(dāng)x=2-x₀時(shí)，y=|log₂|（2-x₀）-1||=|log₂|x₀-1||=y₀
∴點(diǎn)Q（2-x₀，y₀）也在函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象上．
由于點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（πx）=cosπ=-1
∴函數(shù)f（x）=cos（πx）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
∴函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（πx）單調(diào)遞增，f（1）=-1，f（2）=1；
而函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||=-log₂（x-1）單調(diào)遞減，g（2）=0，
故在區(qū)間（1，2）內(nèi)，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象有且只一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（πx）單調(diào)遞減，f（2）=1，f（3）=-1，
而函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||=log₂（x-1）單調(diào)遞增，g（2）=0，
故在區(qū)間（2，3）內(nèi)，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象有且只一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)x＞3時(shí)，g（x）=|log₂|x-1||=log₂（x-1）＞1，而函數(shù)f（x）=cos（πx）≤1，
故在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象無交點(diǎn)．
綜上所述，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性和根的存在性，利用函數(shù)單調(diào)性研究根的存在情況，利用對(duì)稱性求出相應(yīng)橫坐標(biāo)之和．本題有一定的難度，屬于中檔題．