Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=n•a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），利用累加法能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=n•a_n=n•2ⁿ-n，利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+2+2²+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=n•a_n=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n），②
①-②，得：
-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+（1+2+3+…+n）
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹+

n(n+1)

2

=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

，
∴T_n=(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+2．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法和錯位相減法的合理運用．