Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若f（x）＞a對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵
∴當(dāng)x＜1時(shí)，3-2x＞3，解得x＜0；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）＞3無(wú)解
當(dāng)x＞2時(shí)2x-3＞3，解得x＜3．
綜上，x＜0或x＞3，
∴不等式f（x）＞3的解集為（-∞，0）∪（3，+∞）（4分）
（2）∵∴f（x）_min=1
∵f（x）＞a恒成立
∴a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）（7分）
分析：（1）利用零點(diǎn)分段法，我們可將函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|化為分段函數(shù)的形式，根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，我們分類討論解答f（x）＞3，最后綜合討論結(jié)果，即可得到不等式的解集．
（2）若f（x）＞a對(duì)x∈R恒成立，則a＜f（x）的最小值，根據(jù)（1）中分段函數(shù)的解析式，求出函數(shù)f（x）的最小值，即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中利用零點(diǎn)分段法，將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，再根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵．