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【題目】在①離心率，②橢圓過點，③面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.

設橢圓的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點，已知橢圓的短軸長為，________.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段的中垂線與軸交于點，求證：為定值.

【答案】（1）選①，（2）證明見解析

【解析】

（1）選①，根據題意，得到，求解，即可得出結果；

（2）先討論時，求出；再討論時，設直線的方程為，，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理，以及弦長公式等，求出，再求出線段的中垂線方程，得到，求出，進而可求出結果.

（1）選①，由題意可得：，解得

所以所求橢圓的方程為；

（2）（i）當時，

（ii）當時，由題意可得：.

設直線的方程為，設，

由整理得：

顯然，且，

所以

所以線段的中點，

則線段的中垂線方程為，

令，可得，即，又，

所以，

所以，即

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，設橢圓的左焦點為，左準線為為橢圓上任意一點，直線，垂足為，直線與交于點．

（1）若，且，直線的方程為．①求橢圓的方程；②是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

（2）設直線與圓交于兩點，求證：直線均與圓相切．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點F在y軸上，其準線與雙曲線的下準線重合．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設A(，)(＞0)是拋物線上一點，且AF＝，B是拋物線的準線與y軸的交點．過點A作拋物線的切線l，過點B作l的平行線l′，直線l′與拋物線交于點M，N，求△AMN的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某社區(qū)有居民人，為了迎接第十一個“全民健身日”的到來，居委會從中隨機抽取了名居民，統計了他們本月參加戶外運動時間（單位：小時）的數據，并將數據進行整理，分為組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）試估計該社區(qū)所有居民中，本月戶外運動時間不小于小時的人數；

（Ⅱ）已知這名居民中恰有名女性的戶外運動時間在，現從戶外運動時間在的樣本對應的居民中隨機抽取人，求至少抽到名女性的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動點的直線交軸的負半軸于點，交C于點(在第一象限)，且是線段的中點，過點作x軸的垂線交C于另一點，延長線交C于點.

(i)設直線，的斜率分別為，，證明：；

(ii)求直線的斜率的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列{an}為等差數列，a7﹣a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比數列．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn，數列{bn}的前n項和為Sn，若Sn，求n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，點在上且其橫坐標為1，以為圓心、為半徑的圓與的準線相切.

（1）求的值；

（2）過點的直線與交于，兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，若點關于的對稱點在上，求的方程.

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