【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標(biāo)原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點 ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時，四邊形的面積為 ； 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫出面積的表達式整理即可得到定值。

(Ⅰ)由解得

得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為或，

此時四邊形的面積為．

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程

，

點到直線的距離是

由得

因為點在曲線上，所以有

整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)；.

（1）判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；

（2）求的極值；

（3）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形中，，，，與交于點，若平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的大��；

（3）求異面直線所成的角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為2；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓上頂點，左、右頂點分別為、.直線且交橢圓于、兩點，點E 關(guān)于軸的對稱點為點，求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：

（1）直線與線段相交，其中，，則的取值范圍是；

（2）點關(guān)于直線的對稱點為，則的坐標(biāo)為；

（3）圓上恰有個點到直線的距離為；

（4）直線與拋物線交于，兩點，則以為直徑的圓恰好與直線相切.

其中正確的命題有_________.（把所有正確的命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，三棱錐中，平面平面，平面平面，分別是和邊上的點，且，，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在五棱錐P-ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點，點P在底面的射影落在線段AG上．

（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC=，側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE=，點M在側(cè)棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在①離心率，②橢圓過點，③面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點，已知橢圓的短軸長為，________.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段的中垂線與軸交于點，求證：為定值.

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