Question

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B兩點，過A點作⊙O₁的切線交⊙O₂于點E，連接EB并延長交⊙O₁于點C，直線CA交⊙O₂于點D．
（Ⅰ）當點D與點A不重合時（如圖①），證明ED²=EB•EC；
（Ⅱ）當點D與點A重合時（如圖②），若BC=2，BE=6，求⊙O₂的直徑長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接AB，在EA的延長線上取點F，證明∠ABC=∠DAE，∠DAE=∠ADE，可得EA=ED，利用EA²=EB•EC，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）證明AC與AE分別為⊙O₁和⊙O₂的直徑，由切割線定理知：EA²=BE•CE，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：連接AB，在EA的延長線上取點F．
∵AE是⊙O₁的切線，切點為A，
∴∠FAC=∠ABC，．…（1分）
∵∠FAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠ABC是⊙O₂內(nèi)接四邊形ABED的外角，
∴∠ABC=∠ADE，…（2分）
∴∠DAE=∠ADE．…（3分）
∴EA=ED，
∵EA²=EB•EC，
∴ED²=EB•EC．…（5分）
（Ⅱ）解：當點D與點A重合時，直線CA與⊙O₂只有一個公共點，
∴直線CA與⊙O₂相切．…（6分）
如圖②所示，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，
∵∠PAC=∠MAE，
∴∠ABC=∠ABE=90°
∴AC與AE分別為⊙O₁和⊙O₂的直徑．…（8分）
∴由切割線定理知：EA²=BE•CE，而CB=2，BE=6，CE=8
∴EA²=6×8=48，AE=4

3

．
故⊙O₂的直徑為4

3

．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查切割線定理、弦切角定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．