【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求過點(diǎn)A（2，2）的切線方程．

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3ax2+2bx+c，

依題意 ，

又f'（0）=﹣3即c=﹣3

∴a=1，b=0，

∴f（x）=x3﹣3x


（2）解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，x03﹣3x0），

∵f'（x）=3x2﹣3∴切線的斜率為f'（x0）=3x02﹣3，

∴切線方程為y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），

又切線過點(diǎn)A（2，2），

∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），

∴2x03﹣6x02+8=0，即為2（x0+1）（x0﹣2）2=0，

解得x0=﹣1或2，

可得過點(diǎn)A（2，2）的切線斜率為0或9，

即有過點(diǎn)A（2，2）的切線方程為y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），

即為y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0


【解析】（1）由函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為﹣3，求導(dǎo)，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=﹣3，解方程組即可求得，a，b，c的值，從而求得f（x）的解析式；（2）設(shè)切點(diǎn)，求切線方程，得到2=﹣2x03+6x02﹣6，解方程可得x0 ， 運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，進(jìn)而得到所求切線的方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識，掌握若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x﹣2﹣x ， 若對任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如表所示：

PM2.5日均值
（微克/立方米）

[25，35]

（35，45]

（45，55]

（55，65]

（65，75]

（75，85]

頻數(shù)

3

1

1

1

1

3


（1）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；
（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（3）以這10天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量狀況，則一年（按366天算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級．（精確到整數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項的和，且S4=S9 ， a1=﹣12
（1）求數(shù)列的通項an及Sn；
（2）求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致圖象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=2an﹣2，數(shù)列{bn}滿足b1=1，且bn+1=bn+2．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設(shè)cn= ，求數(shù)列{cn}的前2n項和T2n ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），短軸長2，兩焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 過F1的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且△F2MN的周長為8．

（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相交于A，B點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C上一點(diǎn)，四邊形AOBD為矩形，求直線l的方程．

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【題目】2017年3月29日，中國自主研制系全球最大水陸兩棲飛機(jī)AG600將于2017年5月計劃首飛，AG600飛機(jī)的用途很多，最主要的是森林滅火、水上救援、物資運(yùn)輸、海洋探測、根據(jù)災(zāi)情監(jiān)測情報部門監(jiān)測得知某個時間段全國有10起災(zāi)情，其中森林滅火2起，水上救援3起，物資運(yùn)輸5起，現(xiàn)從10起災(zāi)情中任意選取3起.

（1）求三種類型災(zāi)情中各取到1個的概率；

（2）設(shè)表示取到的森林滅火的數(shù)目，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=10，d=3．令bn= ，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

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