Question

【題目】已知：橢圓的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是橢圓上異于的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)：.

【解析】

（1）通過(guò)橢圓的焦距為2，求出．結(jié)合橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，列出方程組求解，，得到橢圓方程．

（2）設(shè)，、，，

①直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，利用韋達(dá)定理推出，的關(guān)系式，利用向量的數(shù)量積推出，得到直線系，然后求解直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；

②直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，判斷直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可．

解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

所以解得

所以；

（2）設(shè)，

①直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立可得，，

∴(*)且，

∵，∴，

即，

化簡(jiǎn)得，

將(*)式代入，得，，

∴，即或(舍，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn))

∴直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)；

②直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

可設(shè)，且，由，

即，解得或(舍)，

此時(shí)直線的方程為，也過(guò)定點(diǎn)；

綜上，直線過(guò)定點(diǎn).