Question

【題目】如圖①，在平面五邊形中，是梯形，，，，，是等邊三角形.現將沿折起，連接、得如圖②的幾何體.

（1）若點是的中點，求證：平面；

（2）若，在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可得出結論；

（2）取中點，連接、，推導出、、兩兩垂直，然后以點為原點，分別以射線、、為、、軸正半軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法結合二面角的余弦值為可求得的值，進而可求得的值，由此可得出結論.

（1）取中點，連接、，則是的中位線，且，

且，且，則四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，平面；

（2）取中點，連接、，易得，，

在中，由已知，，.

，，所以，、、兩兩垂直，

以為原點，分別以射線、、為、、軸正半軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則、、、，

則，，，

假設在棱上存在點滿足題意，設，

則，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

令，得平面的一個法向量，

又平面的一個法向量，

由已知，

整理得，解得（舍去），

因此，在棱上存在點，使得二面角的余弦值為，且.