【題目】如圖所示的多面體中,AD⊥平面PDC,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD的中點,F為線段PB上的一點,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,.
(Ⅰ)試確定點F的位置,使得直線EF∥平面PDC;
(Ⅱ)若PB=3BF,求直線AF與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)當(dāng)點F為BP中點時,使得直線EF∥平面PDC;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)設(shè)F為BP中點,取AP中點G,連結(jié)EF、EG、FG,推導(dǎo)出GF∥AB∥CD,EG∥DP,從而平面GEF∥平面PDC,進(jìn)而當(dāng)點F為BP中點時,使得直線EF∥平面PDC.
(Ⅱ)以D為原點,DC為x軸,在平面PDC中過D作CD垂線為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面PBC的一個法向量,的坐標(biāo),代入公式sinθ求解.
(Ⅰ)設(shè)F為BP中點,取AP中點G,連結(jié)EF、EG、FG,
∵AD⊥平面PDC,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD的中點,
∴GF∥AB∥CD,EG∥DP,
∵EG∩FG=G,DP∩CD=D,∴平面GEF∥平面PDC,
∵EF平面GEF,
∴當(dāng)點F為BP中點時,使得直線EF∥平面PDC.
(Ⅱ)以D為原點,DC為x軸,在平面PDC中過D作CD垂線為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵E為AD的中點,F為線段PB上的一點,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,.
∴cos120°,解得CD=2,
所以A(0,0,3),B(2,0,3),P(﹣2,2,0),C(2,0,0),
設(shè)F(a,b,c),由PB=3BF,得,
即(a﹣2,b,c﹣3)(﹣8,2,﹣3),
解得a,b,c=2,∴F(,,2),
(,﹣1),(0,0,3),(﹣4,2,0),
設(shè)平面PBC的一個法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,,0),
設(shè)直線AF與平面PBC所成角為θ,
則直線AF與平面PBC所成角的正弦值為:
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面,B,,,且,,且,則下列敘述錯誤的是( )
A.直線與是異面直線
B.直線在上的射影可能與平行
C.過有且只有一個平面與平行
D.過有且只有一個平面與垂直
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系,過點作傾斜角為()的直線交曲線于、兩點.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并寫出直線的參數(shù)方程;
(2)過點的另一條直線與垂直,且與曲線交于,兩點,求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某快餐連鎖店,每天以200元的價格從總店購進(jìn)早餐,然后以每份10元的價格出售.40份以內(nèi),總店收成本價每份5元,當(dāng)天不能出售的早餐立即以1元的價格被總店回收,超過40份的未銷售的部分總店成本價回收,然后進(jìn)行環(huán)保處理.如果銷售超過40份,則超過40份的利潤需上繳總店.該快餐連鎖店記錄了100天早餐的銷售量(單位:份),整理得下表:
日銷售量 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
頻數(shù) | 10 | 16 | 28 | 24 | 14 | 8 |
完成下列問題:
(1)寫出每天獲得利潤與銷售早餐份數(shù)()的函數(shù)關(guān)系式;
(2)估計每天利潤不低于150元的概率;
(3)估計該快餐店每天的平均利潤.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面五邊形中,是梯形,,,,,是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起,連接、得如圖②的幾何體.
(1)若點是的中點,求證:平面;
(2)若,在棱上是否存在點,使得二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,又,,,.
(1)求證:平面;
(2)求與平面所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,,平面平面,點在上,且.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)異面直線與所成角的余弦值為時,求二面角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點,.
(1)求圓的圓心坐標(biāo);
(2)求線段的中點的軌跡的方程;
(3)是否存在實數(shù),使得直線 與曲線只有一個交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是某地5月1日至15日日平均溫度變化的折線圖,日平均溫度高于20度低于27度時適宜戶外活動,某人隨機選擇5月1日至5月14日中的某一天到達(dá)該地停留兩天(包括到達(dá)當(dāng)日).
(1)求這15天日平均溫度的極差和均值;
(2)求此人停留期間只有一天的日平均溫度適宜戶外活動的概率;
(3)由折線圖判斷從哪天開始連續(xù)三天日平均溫度的方差最大?(寫出結(jié)論,不要求證明)
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com