Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[

π

4

，

3π

2

]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

，即可求其最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由

π

4

≤x≤

3π

2

，可求得x+

π

4

的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

1+cosx

2

-1
=

1

2

sinx+

1

2

cosx-

1

2

…（2分）
=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

．…（4分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．…（6分）
由2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．…（9分）
（2）由

π

4

≤x≤

3π

2

，得

π

2

≤x+

π

4

≤

7π

4

，…（11分）
則當(dāng)x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

4

時(shí)，f（x）取得最小值-

2 +1

2

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．