Question

已知數(shù)列{an}中，a1=2，其前n項(xiàng)和為Sn，滿足

Sn+1

=

Sn

+

2

．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=

2

Sn+1-2

，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）先證明{

Sn

}是以

S1

=

2

為首項(xiàng)，

2

為公差的等差數(shù)列，可得S_n=2n²，利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答： （I）解：∵

Sn+1

=

Sn

+

2

∴

Sn+1

-

Sn

=

2

∴{

Sn

}是以

S1

=

2

為首項(xiàng)，

2

為公差的等差數(shù)列
∴

Sn

=

2

+

2

•(n-1)=

2

n
∴S_n=2n²
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-2；當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2；
（II）證明：由（I）知bn=

1

n2-2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．