Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）若直線是曲線的一條切線，求實數(shù)的值；

（2）當時，若函數(shù)在上有兩個零點．求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設(shè)切點， 由題意得，解方程組即可得結(jié)果；（2）函數(shù)在上有兩個零點等價于，函數(shù) 的圖象與直線有兩個交點，設(shè)，利用導數(shù)可得函數(shù)在處取得極大值，結(jié)合，，從而可得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域為，，

曲線在點處的切線方程為.

由題意得

解得，.所以的值為1.

（2）當時，，則，

由，得，由，得，則有最小值為，即，

所以，，

由已知可得函數(shù) 的圖象與直線有兩個交點，

設(shè)，

則，

令，，

由，可知，所以在上為減函數(shù)，

由，得時，，當時，，

即當時，，當時，，

則函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以，函數(shù)在處取得極大值，

又，，

所以，當函數(shù)在上有兩個零點時，的取值范圍是，

即.