Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由已知可知，若滿足條件，即有解，轉(zhuǎn)化為有解，即，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值；

（2）由已知可知 ，整理為，再通過分析法將需要證明的式子轉(zhuǎn)化為，若，可變形為，設(shè)，即證成立，

若，即證.

（1）由題函數(shù)存在增區(qū)間，即需有解，即有解，

令，，且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

如圖得到函數(shù)的大致圖象，故當(dāng)，

∴時(shí)，函數(shù)存在增區(qū)間；

（2）法1：，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)知，為的兩根，

即，，

∴，①

∴②，要證，即證，由①代入，

即證：，，

將②代入即證：③

且由（1）知，

若，則③等價(jià)于，令，，

即證成立，

而，

∴在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，

∴，所以得證；

若，則③等價(jià)于，令，，

，顯然成立.

法2：要證，又由（1）知，，

當(dāng)時(shí)，要證上式成立，即證，易知顯然成立；

當(dāng)時(shí)，，故只需，即證，也即證，

由于時(shí)單調(diào)遞增，故即證，而，

只需證，成立，令，

只需證在時(shí)成立，

而，故在單調(diào)遞增，

所以，故原不等式得證.