Question

【題目】考察所有排列，將每種排列視為一個(gè)元有序?qū)崝?shù)組，設(shè)且，設(shè)為的最大項(xiàng)，其中.記數(shù)組為.例如，時(shí)，；時(shí)，.若數(shù)組中的不同元素個(gè)數(shù)為2.

（1）若，求所有元有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù)；

（2）求所有元有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）11；（2）

【解析】

（1）數(shù)組中的不同元素個(gè)數(shù)為2，故為1，2，3中的的任意一個(gè)，根據(jù)4的位置討論即可得到有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù)；

（2）數(shù)組中的不同元素個(gè)數(shù)為2，為1，2，中的的任意一個(gè)，則數(shù)，只能在之后，而在和之間只能出現(xiàn)1，2，中的某些數(shù)，設(shè)，根據(jù)計(jì)數(shù)原理以及排列組合知識即可得到當(dāng)時(shí)，數(shù)組的個(gè)數(shù)，進(jìn)而當(dāng)從1變化到時(shí)，即可求出元有序?qū)崝?shù)組的全部個(gè)數(shù)．

（1）因?yàn)閿?shù)組中的不同元素個(gè)數(shù)為2，

所以為1，2，3中的任意一個(gè)，即4只能為或或.

當(dāng)時(shí)，則是1，2，3的任意一個(gè)排列，總數(shù)有個(gè)；

當(dāng)時(shí)，則是1，2，3的一個(gè)排列，且，故為或或，總數(shù)有3個(gè)；

當(dāng)時(shí)，則是1，2，3，的任意一個(gè)排列，且，故為或，總數(shù)有2個(gè)；

綜上，有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù)為，

（2）因?yàn)閿?shù)組中的不同元素個(gè)數(shù)為2，

所以為中的任意一個(gè).

當(dāng)時(shí)，數(shù)在中必須位于之后，而在與之間只能出現(xiàn)中的某些數(shù)，所以只能作出現(xiàn).

當(dāng)時(shí)，可為從中任意選出個(gè)元素的排列，而則為其余個(gè)元素的全排列.所以與相對應(yīng)的排列個(gè)數(shù)為：.

所以所有元有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù)記為，

則