Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-5，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i）；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)，可得，單調(diào)遞增，得到最小值，從而得到的值.

（Ⅱ）（i）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，通過參變分離轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題，從而得到的取值范圍.

（ii）根據(jù)題意得到，，兩式相加、減消去，設(shè)構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，進(jìn)行證明.

解：（Ⅰ），

∵，，∴，

所以在區(qū)間上為單調(diào)遞增.

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以的值為8.

（Ⅱ）（i）∵

，

且的定義域?yàn)?/span>，

∴.

由有兩個(gè)極值點(diǎn)，，

等價(jià)于方程有兩個(gè)不同實(shí)根，.

由得：.

令，

則，由.

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，

∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（ii）證明：不妨設(shè)，

且①，②，

①+②得： ③

②-①得： ④

③÷④得：，即，

要證：，

只需證.

即證：.

令，

設(shè)，

.

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴.