【題目】設是定義在上的函數(shù),若存在,使得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則稱為上的單峰函數(shù),稱為峰點,包含峰點的區(qū)間稱為含峰區(qū)間;
(1)判斷下列函數(shù):①,②,哪些是“上的單峰函數(shù)”?若是,指出峰點,若不是,說明理由;
(2)若函數(shù)()是上的單峰函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設是上的單峰函數(shù),若m,),,且,求證:為的含峰區(qū)間.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.
【解析】
(1)依次判斷各函數(shù)在上是否存在極大值點即可得出結(jié)論;
(2)求出的極大值點,令極大值點在區(qū)間上即可;
(3)利用的單調(diào)性得出的峰點在區(qū)間上即可.
(1)①,令得,
當時,,當時,,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴是上的單峰函數(shù),峰點為;
②當時,.
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴不是上的單峰函數(shù);
(2),令得,
當時,,當時,,
當時,,
∴是的極大值點,
∵函數(shù)是上的單峰函數(shù),
∴,解得:.
(3)證明:∵是上的單峰函數(shù),
∴存在,使得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
假設,則在上是增函數(shù),
∴,與矛盾;
∴假設錯誤,故,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴為的含峰區(qū)間.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】對于函數(shù),若存在正常數(shù),使得對任意的,都有成立,我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”.
(1)求證:對任意正常數(shù),都不是“同比不減函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)是否存在正常數(shù),使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”,若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知曲線,直線經(jīng)過點與相交于、兩點.
(1)若且,求證: 必為的焦點;
(2)設,若點在上,且的最大值為,求的值;
(3)設為坐標原點,若,直線的一個法向量為,求面積的最大值.
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【題目】現(xiàn)有10個不同的產(chǎn)品,其中4個次品,6個正品.現(xiàn)每次取其中一個進行測試,直到4個次品全測完為止,若最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn),則該情況出現(xiàn)的概率是_______.
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【題目】隨著金融市場的發(fā)展,越來越多人選擇投資“黃金”作為理財?shù)氖侄,下面?/span>A市把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計如下圖所示.
(1)求圖中a的值;
(2)求把黃金作為理財產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)以及平均數(shù);(結(jié)果用小數(shù)表示,小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)
(3)以頻率估計概率,現(xiàn)從所有投資者中隨機抽取4人,記年齡在的人數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓上兩個不同的點、關(guān)于直線對稱.
(1)若已知,為橢圓上動點,證明:;
(2)求實數(shù)的取值范圍;
(3)求面積的最大值(為坐標原點).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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