【題目】已知曲線,直線經(jīng)過點與相交于、兩點.
(1)若且,求證: 必為的焦點;
(2)設(shè),若點在上,且的最大值為,求的值;
(3)設(shè)為坐標原點,若,直線的一個法向量為,求面積的最大值.
【答案】(1)證明見解析;(2)或;(3).
【解析】試題分析:(1)利用兩點之間距離公式,即可求得的值,由橢圓的方程,即可求得焦點坐標,即可證必為的焦點;(2)利用兩點之間距離公式,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)時,取最大值,代入即可求得的值;(3)求得直線的方程,代入方程,由韋達定理,弦長公式及點到直線的距離公式,利用基本不等式的性質(zhì),即可求得面積的最大值.
試題解析:(1) ,解得,所以點
由于,
故的焦點為,所以在的焦點上.
(2)設(shè),則
(其中)
對稱軸,所以當(dāng)時, 取到最大值,
故,即,解得或
因為,所以.
(3) ,,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立
,消去得,
其中恒成立。
設(shè),則
設(shè),令,則
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,即時,
故面積的最大值為.
【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
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【題目】求下列曲線的標準方程:
(1)與橢圓+=1有相同的焦點,直線y=x為一條漸近線.求雙曲線C的方程.
(2)焦點在直線3x﹣4y﹣12=0 的拋物線的標準方程.
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【題目】某班級舉行一次知識競賽活動,活動分為初賽和決賽兩個階段,下表是初賽成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)的頻率分布表.
分組(分數(shù)段) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
0.16 | ||
17 | ||
| 19 | 0.38 |
| ||
合計 | 50 | 1 |
(Ⅰ)求頻率分布表中, , , 的值;
(Ⅱ)決賽規(guī)則如下:參加決賽的每位同學(xué)依次口答3道判斷題,答對3道題獲得一等獎,答對2道題獲得二等獎,答對1道題獲得三等獎,否則不得獎.若某同學(xué)進入決賽,且其每次答題回答正確與否均是等可能的,試列出他回答問題的所有可能情況,并求出他至少獲得二等獎的概率.
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【題目】已知f(x)= .
(1)若f(x)>k的解集為{x|x<﹣3或x>﹣2},求k的值;
(2)若對任意x>0,f(x)≤t恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項a1=3,前n項和為Sn , 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.
(1)求{an}和{bn}的通項公式.
(2)令Cn=nbn(n∈N+),求{cn}的前n項和Tn .
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=10,an+1=9Sn+10.
(1)求證:{lgan}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)Tn是數(shù)列{ }的前n項和,求Tn;
(3)求使Tn> (m2﹣5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合.
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【題目】有兩枚大小相同、質(zhì)地均勻的正四面體玩具,每個玩具的各個面上上分別寫著數(shù)字1,2,3,5,同時投擲這兩枚玩具一次,記為兩個朝下的面上的數(shù)字之和.
(1)求事件“不小于6”的概率;
(2)“為奇數(shù)”的概率和“為偶數(shù)”的概率是不是相等?證明你作出的結(jié)論.
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【題目】設(shè)命題p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命題q:實數(shù)x滿足 .
(1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某種藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘,由于下雨會影響藥材的收益,若基地收益如下表所示:已知下周一和下周二無雨的概率相同且為,兩天是否下雨互不影響,若兩天都下雨的概率為
(1)求及基地的預(yù)期收益;
(2)若該基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù),若周一無雨時收益為萬元,有雨時收益為萬元,且額外聘請工人的成本為元,問該基地是否應(yīng)該額外聘請工人,請說明理由.
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