【題目】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.

1)若已知為橢圓上動(dòng)點(diǎn),證明:

2)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)求面積的最大值(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

【答案】1)證明見解析;(2;(3.

【解析】

1)設(shè)點(diǎn),則有,代入橢圓的方程得出,然后利用兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的最大值,從而證明;

2)由、關(guān)于直線對(duì)稱,可得出直線與直線,從而可得出直線的斜率為,設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,得出,并列出韋達(dá)定理,求出線段的中點(diǎn),再由點(diǎn)在直線上列出不等式,結(jié)合可求出的取值范圍;

3)令,可得出直線的方程為,利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式計(jì)算出,利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出的高的表達(dá)式,然后利用三角形的面積公式得出面積的表達(dá)式,利用基本不等式可求出面積的最大值.

(1)設(shè),則,得,于是

,所以當(dāng)時(shí),,即

2)由題意知,可設(shè)直線的方程為

消去,得

因?yàn)橹本與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以,,即,①

由韋達(dá)定理得,

,所以,線段的中點(diǎn).

中點(diǎn)代入直線方程,解得②,

將②代入①得,化簡得.

解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是;

3)令,即,且.

,,

,

到直線的距離為,

設(shè)的面積為,所以,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故面積的最大值為

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(Ⅰ)求橢圓C的方程.

(Ⅱ)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,過點(diǎn)F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).對(duì)于任意的是否為定值?若是求出這個(gè)定值;若不是說明理由

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年齡(歲)

頻數(shù)

贊成人數(shù)

)完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖.

)若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求恰有人不贊成的概率.

)在在條件下,再記選中的人中不贊成車輛限行的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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2)若命題是真命題,求a的取值范圍.

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