【題目】已知拋物線和圓，拋物線的焦點(diǎn)為.

（1）求的圓心到的準(zhǔn)線的距離；

（2）若點(diǎn)在拋物線上，且滿足， 過點(diǎn)作圓的兩條切線，記切點(diǎn)為，求四邊形的面積的取值范圍；

（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點(diǎn)，證明:的充要條件是“直線的方程為”

【答案】（1）4；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）分別求出圓心和準(zhǔn)線方程即可得解；

（2）根據(jù)條件可表示出四邊形的面積，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解；

（3）充分性：令直線的方程為，分別求出、、、四點(diǎn)坐標(biāo)后即可證明；必要性：設(shè)的方程為，，，，，由可得，即可得出與的關(guān)系，進(jìn)而可得出直線的方程為.

（1）由可得:，的圓心與的焦點(diǎn)重合，

的圓心到的準(zhǔn)線的距離為.

（2）四邊形的面積為:

，

當(dāng)時(shí)，四邊形的面積的取值范圍為.

（2）證明(充分性) :若直線的方程為，將分別代入

得，，，.

，.

(必要性) :若，則線段與線段的中點(diǎn)重合，

設(shè)的方程為，，，，，

則，將代入得，

，即，

同理可得，，

即或，

而當(dāng)時(shí)，將其代入得不可能成立； .

當(dāng)時(shí)，由得：，，

將代入得，，

，，

，或（舍去）

直線的方程為.

的充要條件是“直線的方程為”.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PB上.試確定點(diǎn)F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某汽車公司生產(chǎn)新能源汽車，2019年3-9月份銷售量（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表所示：

月份

3

4

5

6

7

8

9

銷售量

（萬輛）

3.008

2.401

2.189

2.656

1.665

1.672

1.368

（1）某企業(yè)響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，購(gòu)買了6輛該公司生產(chǎn)的新能源汽車，其中四月份生產(chǎn)的4輛，五月份生產(chǎn)的2輛，6輛汽車隨機(jī)地分配給A，B兩個(gè)部門使用，其中A部門用車4輛，B部門用車2輛.現(xiàn)了解該汽車公司今年四月份生產(chǎn)的所有新能源汽車均存在安全隱患，需要召回.求該企業(yè)B部門2輛車中至多有1輛車被召回的概率；

（2）經(jīng)分析可知，上述數(shù)據(jù)近似分布在一條直線附近.設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可計(jì)算出，試求出的值，并估計(jì)該廠10月份的銷售量.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分別是BC，A1C的中點(diǎn)．

（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；

（2）點(diǎn)M在線段A1D上， ．若CM∥平面AEF，求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，AP，AB，AD兩兩垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.

（1）求二面角P-CD-A的余弦值；

（2）已知H為線段PC上異于C的點(diǎn)，且DC＝DH，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列與滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和（）.

（1）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，且數(shù)列也是等比數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)，若且對(duì)恒成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)，，（，），若存在整數(shù)，，且，使得成立，求的所有可能值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】蔬菜批發(fā)市場(chǎng)銷售某種蔬菜，在一個(gè)銷售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價(jià)處理，每噸虧損100元.統(tǒng)計(jì)該蔬菜以往100個(gè)銷售周期的市場(chǎng)需求量，繪制下圖所示頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求的值，并求100個(gè)銷售周期的平均市場(chǎng)需求量（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的數(shù)值）；

（Ⅱ）若經(jīng)銷商在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)了190噸該蔬菜，設(shè)為該銷售周期的利潤(rùn)（單位：元），為該銷售周期的市場(chǎng)需求量（單位：噸）.求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售的利潤(rùn)不少于86000元的概率.

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【題目】已知橢圓()的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，離心率，且經(jīng)過圓O:的圓心.過點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸重合的直線和該橢圓交于MN兩點(diǎn)，且直線分別與直線交于PQ兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:為直角三角形.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

（1）在曲線上任取一點(diǎn),連接,在射線上取一點(diǎn)，使,求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上任取一點(diǎn),在曲線上任取一點(diǎn),求的最小值.

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