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【題目】已知橢圓()的右焦點為F，左頂點為A，離心率，且經過圓O:的圓心.過點F作不與坐標軸重合的直線和該橢圓交于MN兩點，且直線分別與直線交于PQ兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:為直角三角形.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

根據條件橢圓過點，即，由以及，可求橢圓方程.
（2）設，，根據點共線求出點坐標，設直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式即可得到，即證明結論成立.

(1)由題意知，圓O:的圓心為

.∵橢圓()過圓O:的圓心，

∴.又，，∴

.∴所求橢圓的方程為.

（2）設，，可設直線l的方程為.

聯立，可得.

∴

.根據AMP三點共線可得.

∴.同理可得

.∴PQ的坐標分別為，.

設直線的斜率為，直線的斜率為，則

∴. ∴為直角三角形.

練習冊系列答案
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