Question

【題目】設函數(shù)．

（1）若是偶函數(shù)，求的值；

（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設函數(shù)，若在有零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由偶函數(shù)的定義，作差變形后可求出實數(shù)的值；

（2）由已知代入可得，不等式兩邊同時除以可得出，換元，可得出，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍；

（3）求出，換元，由此可得出函數(shù)在上有零點，利用參變量分離法得出，利用單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）若是偶函數(shù)，則，即

即，則，即；

（2），即，即，

則，設，，.

設，則，

則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

當時，函數(shù)取得最大值，.

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3），則，

則，

設，當時，函數(shù)為增函數(shù)，則，

若在有零點，即在上有解，即，即，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即.，因此，實數(shù)的取值范圍是.