Question

【題目】已知．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（Ⅱ）若有2個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）對(duì)，求證： ．

Answer 1

【答案】(1) ，無(wú)極大值(2) (3)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）求導(dǎo)，討論的取值，研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變換，得到函數(shù)單調(diào)性和極值，再通過(guò)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定極值的符號(hào)；（Ⅲ）作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可證明.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)

， ， 為減函數(shù)

， ， 為增函數(shù)

∴，無(wú)極大值；

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)， ，只有個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

， ， 為減函數(shù)

， ， 為增函數(shù)

而

∴當(dāng)， ，使

當(dāng)時(shí)，∴ ∴

∴

取，∴

∴函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

令得，

①，即時(shí)

當(dāng)變化時(shí) ， 變化情況是

∴

∴函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

②時(shí)， ， 在單調(diào)遞增

∴至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意

③當(dāng)時(shí)，即以時(shí)

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況是

∴， 時(shí)

∴函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn)

綜上： 的取值范圍是

（Ⅲ）令

令行禁止

∴為增函數(shù)

取， ，

∴存在唯一使，即

， ，即，∴為減函數(shù)

， ，即，∴為增函數(shù)

∴

∴對(duì)有

即