Question

如圖，橢圓的離心率為，是其左右頂點(diǎn)，是橢圓上位于軸兩側(cè)的點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），且四邊形面積的最大值為4．

（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，若，設(shè)△與△的面積分別為，求的最大值．

Answer 1

（1）； （2）的最大值為．

試題分析：（1）由   2分，得，所以橢圓方程為；   4分
（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，代入得
，                               5分
， ，                                7分
，，由得，
所以，所以，            8分
得，得，①         9分
，
，                      10分
代入①得，得，或（是增根，舍去），      11分
所以                                       12分
所以，當(dāng)時(shí)取到，  14分
所以，所以的最大值為．  `      15分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，建立了a,bac的方程組。（2）作為研究三角形面積問(wèn)題，應(yīng)用韋達(dá)定理，建立了m的函數(shù)式，利用函數(shù)觀點(diǎn)，求得面積之差的最大值，使問(wèn)題得解。