Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，橢圓 過點 ，直線 交 軸于 ，且 ， 為坐標原點．
（1）求橢圓 的方程；
（2）設 是橢圓 的上頂點，過點 分別作直線 交橢圓 于 兩點，設這兩條直線的斜率分別為 ，且 ，證明：直線 過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 過點 ，∴ ① ，

∵ ，∴ ，則 ，

∴ ②，由①②得 ，

∴橢圓 的方程為

（2）解：當直線 的斜率不存在時 ，設 ，則 ，由 得 ，得

當直線 的斜率存在時，設 的方程為 ，

，

得 ，

，

即 ，

由 ，

即 ．

故直線 過定點 ．

【解析】（1）由橢圓過已知點及向量的關系得到關于a,b,c的方程組求a,b,c。
（2）將直線方程設為y=kx+m,代入橢圓方程得方程組，消去y得關于x的一元二次方程，用韋達定理將斜率和表示出來，得k,m的關系式，回代入直線方程中得直線所過定點坐標。