Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$．
（1）證明f（x）為偶函數(shù)；
（2）若不等式k≤xf（x）+$\frac{1}{x}$在x∈[1，3]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）當x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]（m＞0，n＞0）時，函數(shù)g（x）=tf（x）+1，（t≥0）的值域為[2-3m，2-3n]，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，先求定義域，再判斷f（-x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=f（x）；
（2）直接求右表達式的最小值即可；
（3）得出g（x）=tf（x）+1=t（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）+1 （t≥0）在x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]上遞增，可得出g（$\frac{1}{m}$）=2-3m，g（$\frac{1}{n}$）=2-3n，
構造一方程m，n是t（1-x²）=2-3x的兩個不相等的正跟，利用二次函數(shù)和韋達定理得出t的范圍．

解答 （1）證明：函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
∵f（-x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）k≤xf（x）+$\frac{1}{x}$=x在x∈[1，3]上恒成立，
∴k≤1；
（3）g（x）=tf（x）+1=t（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）+1 （t≥0）在x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]上遞增，
∴g（$\frac{1}{m}$）=2-3m，g（$\frac{1}{n}$）=2-3n，
∴t（1-m²）+1=2-3m，t（1-n²）+1=2-3n，
∴m，n是t（1-x²）+1=2-3x的兩個不相等的正跟，
∴tx²-3x+1-t=0（t＞0），
∴△=9-4t（1-t）＞0，
$\frac{3}{t}$＞0，
$\frac{1-t}{t}$＞0，
∴0＜t＜1．

點評 考查了奇偶性的判斷和恒成立問題的轉換，利用構造方程的思想，通過韋達定理得出參數(shù)t的范圍．