Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處的切線斜率為2，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=

1

3

對稱．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的圖象與g（x）=x²的圖象有且僅有三個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（1）利用導(dǎo)函數(shù)的運算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得到相應(yīng)參量的方程，解方程得本題結(jié)論；（2）本題通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)圖象的特征，根據(jù)圖象的交點情況得到參數(shù)c滿足的關(guān)系式，求出c的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由已知得

f′(1)=2 - a 3 = 1 3

_，
即 

3+2a+b=2 a=-1

，
解得：

a=-1 b=1

．
（2）由（1）知f(x)=x3-x2+x+

c

，

f(x)-g(x)=x3-2x2+x+c，
設(shè)F(x)=x3-2x2+x+

c

，

則F′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令F′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，列表

x	(-∞， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

兩個圖象有且僅有三個公共點，
只需

F( 1 3 )= 4 27 +c＞0 F(1)=c＜0

，
解得 -

4

27

＜c＜0．
∴c的取值范圍是(-

4

27

，0)．

點評：本題考查的是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象等知識，有一定的計算難度，本題屬于中檔題．