Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，若函數(shù)過點(diǎn)（-2，0），解不等式xf（x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，若函數(shù)過點(diǎn)（-2，0），
∴f（2）=f（-2）=0，
∵在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴若x＞0，則不等式xf（x）＜0等價(jià)為f（x）＜0．即f（x）＜f（2），解得0＜x＜2，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴在（-∞，0）上為減函數(shù)，
∴若x＜0，則不等式xf（x）＜0等價(jià)為f（x）＞0．即f（x）＞f（-2），解得x＜-2，
綜上不等式的解為0＜x＜2或x＜-2，
即不等式的解集為{x|0＜x＜2或x＜-2}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．