Question

【題目】如圖，在四面體A-BCD中，AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.

(I)證明：PQ//平面BCD;

(II)若異面直線PQ與CD所成的角為，二面角C-BM-D的大小為，求cos的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）連并延長交于，連過作交于，由三角形中位線定理以及全等三角形的性質(zhì)可得 ，結(jié)合條件推導出，由此能證明平面；（2）過作于，作于，連，可證明 平面 ，可得，即為二面角的平面角，由直角三角形的性質(zhì)可求出的值.

試題解析：（1）證明：如圖，連AP并延長交BD于E，連CE，

過M作MN∥BD交AP于N，則AN=NE，NP=PE．

故AP=3PE，從而PQ∥CE．

因PQ平面BCD，CE平面BCD，

故PQ∥平面BCD．

（2）解：過C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，連FR．

因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，

故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，從而BM⊥平面RCF，

所以∠CRF=θ即為二面角C﹣BM﹣D的平面角．

因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即為∠BCD的角平分線．

由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，

從而BC=1，．

由題意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．

由題意知，故．

所以=，從而．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角及其平面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.