Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤4π，則函數(shù)f（x）的各極大值之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，即可求函數(shù)f（x）的各極大值之和．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)原函數(shù)遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx）遞減，
故當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤4π，
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π．
故答案為：e^π+e^3π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列的求和．利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，f（x）取極大值是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．