【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，求證： .

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）函數(shù)的定義域為，且.原問題轉(zhuǎn)化為考查二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當時，原問題等價于.構(gòu)造函數(shù)，則.結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)可知當時， 取得最大值，即， 成立.

試題解析：

（1）的定義域為， .

考慮.

①當，即時， 恒成立， 在上單調(diào)遞增；

②當，即或時，由得.

若，則恒成立，此時在上單調(diào)遞增；

若，則，

此時或；

.

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當時， .

令，

.

當時， ；當時， ，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當時， 取得最大值，

故，即成立，得證.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力，某移動支付公司在我市隨機抽取了100名移動支付用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

每周移動支付次數(shù)

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

男

4

3

3

7

8

30

女

6

5

4

4

6

20

合計

10

8

7

11

14

50

（1）如果認為每周使用移動支付超過3次的用戶“喜歡使用移動支付”，能否在犯錯誤概率不超過的前提下，認為是否“喜歡使用移動支付”與性別有關(guān)？

（2）每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶，

①求抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率；

②為了鼓勵女性用戶使用移動支付，對抽出的女“移動支付達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為，求的數(shù)學期望.

附表及公式：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）若, ，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)點P是函數(shù)圖象上任意一點，點Q坐標為，當取得最小值時圓上至多有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝2，點E是棱AD的中點，點F在棱SC上，且λ，SA//平面BEF．

（1）求實數(shù)λ的值；

（2）求三棱錐F﹣EBC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．

(1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；

(2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．求服藥一次后治療有效的時間是多長？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若對于曲線上任意點處的切線，總存在上處的切線，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*）在y=x2的函數(shù)圖象上．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若bn=（-1）n+1anan+1，求數(shù)列{bn}的前100項和T100．

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