【題目】已知函數(shù), 的圖象在處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)若存在實(shí)數(shù),使得成立,求整數(shù)的最小值.
【答案】(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0);單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)=2;(2) k的最小值為0.
【解析】試題分析:⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的切點(diǎn),
⑵要滿(mǎn)足,分類(lèi)含參量得
構(gòu)造,求得的最小值即可
解析:(Ⅰ)f′(x)=2ex+6x-2,
因?yàn)?/span>f′(0)=a,所以a=0,
易得切點(diǎn)(0,2),所以b=-1.
易知函數(shù)f′(x)在R上單調(diào)遞增,且f′(0)=0.
則當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0);單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)=2.
(Ⅱ)f(x)-2x2-3x-2-2k≤0ex+x2-x-1-k≤0k≥ex+x2-x-1, (*)
令h(x)=ex+x2-x-1,
若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式(*)成立,則k≥h(x)min,
h′(x)=ex+x-,易知h′(x)在R上單調(diào)遞增,
又h′(0)=-<0,h′(1)=e->0,h′=e-2<0,h′=e->2.56-=1.6-=->2-=>0,
所以存在唯一的x0∈,使得h′(x0)=0,
且當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h′(x)>0.
所以h(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
h(x)min=h(x0)=ex0+x20-x0-1,
又h′(x0)=0,即ex0+x0-=0,
所以ex0=-x0.
所以
因?yàn)?/span>x0∈,
所以h(x0)∈,
則k≥h(x0),又k∈Z.
所以k的最小值為0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與直線交于、兩點(diǎn),且點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)在的人基本每天都離不開(kāi)手機(jī),許多人手機(jī)一旦不在身邊就不舒服,幾乎達(dá)到手機(jī)二十四小時(shí)不離身,這類(lèi)人群被稱(chēng)為“手機(jī)控”,這一群體在大學(xué)生中比較突出.為了調(diào)查大學(xué)生每天使用手機(jī)的時(shí)間,某調(diào)查公司針對(duì)某高校男生、女生各25名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,其中每天使用手機(jī)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)的被稱(chēng)為:“手機(jī)控”,否則被稱(chēng)為“非手機(jī)控”.調(diào)查結(jié)果如下:
手機(jī)控 | 非手機(jī)控 | 合計(jì) | |
女生 | 5 | ||
男生 | 10 | ||
合計(jì) | 50 |
(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,再判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與性別有關(guān),說(shuō)明你的理由;
(2)現(xiàn)從被調(diào)查的男生中按分層抽樣的方法選出5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取3人參加座談會(huì),記這3人中“手機(jī)控”的人數(shù)為,試求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, , 為橢圓的上頂點(diǎn), 為等邊三角形,且其面積為, 為橢圓的右頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左、右頂點(diǎn)),且滿(mǎn)足,試問(wèn):直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),否則說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于, 兩點(diǎn), 為橢圓的左頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某技術(shù)公司開(kāi)發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值(記為),由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖:
公司規(guī)定:當(dāng)時(shí),產(chǎn)品為正品;當(dāng)時(shí),產(chǎn)品為次品,公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品,若是正品,則盈利90元;若是次品,則虧損30元,記的分布列和數(shù)學(xué)期望;
由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
①利用該正態(tài)分布,求;
②某客戶(hù)從該公司購(gòu)買(mǎi)了500件這種產(chǎn)品,記表示這500件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求.
附:,
若,則,
.
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