Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln2x－2aln(ex)＋3，x∈[e－1，e2]

(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的值域；

(2)若f(x)≤－alnx＋4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)[0,4]．(2)a≥.

【解析】

試題（1）先換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系求值域，（2）先換元，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類討論實數(shù)a的取值范圍．

試題解析：(1)當a＝1時，y＝f(x)＝ln2x－2lnx＋1，

令t＝lnx∈[－1,2]，

∴y＝t2－2t＋1＝(t－1)2，

當t＝1時，取得最小值0；t＝－1時，取得最大值4.

∴f(x)的值域為[0,4]．

(2)∵f(x)≤－alnx＋4，

∴l(xiāng)n2x－alnx－2a－1≤0恒成立，

令t＝lnx∈[－1,2]，∴t2－at－2a－1≤0恒成立，

設(shè)y＝t2－at－2a－1，

∴當≤，即a≤1時，ymax＝－4a＋3≤0，∴≤a≤1，

當＞，即a＞1時，ymax＝－a≤0，∴a＞1，

綜上所述，a≥.