Question

【題目】已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.

(1)若曲線C上存在一點(diǎn)Q，它到l的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)過直線l上任一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)記為A，B，求證：直線AB過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，又y2＝4x，解得Q；（2）設(shè)點(diǎn)(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)，聯(lián)立y2＝4x，則Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，則切點(diǎn)分別為A，B，所以A，B，F三點(diǎn)共線，AB過點(diǎn)F(1，0)。

試題解析：

(1)設(shè)Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，

由解得Q.

(2)設(shè)過點(diǎn)(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，

由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，

特別地，當(dāng)t＝0時(shí)，k＝±1，切點(diǎn)為A(1，2)，B(1，－2)，顯然AB過定點(diǎn)F(1，0).

一般地方程k2＋kt－1＝0有兩個(gè)根，

∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，

∴兩切點(diǎn)分別為A，B，

∴＝，＝，

又－＝2＝0，

∴與共線，又與有共同的起點(diǎn)F，

∴A，B，F三點(diǎn)共線，∴AB過點(diǎn)F(1，0)，

綜上，直線AB過定點(diǎn)F(1，0).