Question

點A時橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的一個動點，點P在線段OA的延長上且

OA

•

OP

=48．則點P的橫坐標的最大值是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)向量共線定理設(shè)

OP

=λ

OA

（λ＞1），結(jié)合題意算出λ=

48

| OA |2

．設(shè)A（x，y）、P（m，n），由向量的坐標運算公式，化簡得m=λx═

48

9 x + 16 25 x

，再利用基本不等式求最值，可得P點橫坐標的最大值．

解答： 解：∵點P在線段OA的延長線上，
∴設(shè)

OP

=λ

OA

（λ＞1），
由

OA

•

OP

=48得λ|

OA

|²=48，可得λ=

48

| OA |2

．
設(shè)A（x，y），P（m，n），則
m=λx=

48

| OA |2

•x=

48

x2+y2

•x=

48

9 x + 16 25 x

≤

48

2 9 x • 16 25 x

=10，
由此可得：當且僅當

9

x

=

16

25

x，即A點橫坐標x=

15

4

時，P點橫坐標的最大值為10．
故答案為：10．

點評：本題已知橢圓上的動點滿足的條件，求點P橫坐標的最大值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)、向量的坐標運算公式、基本不等式與橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．