Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與軸的正半軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓：與圓交于，兩點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求的長；

（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最小值；

（3）過點(diǎn)的直線與圓A切于點(diǎn)，與圓分別交于點(diǎn)，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，試求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）根據(jù)半徑，得到圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；因?yàn)?/span>B、C是兩個(gè)圓的交點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)圓可得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得BC的長。

（2）根據(jù)圓A關(guān)于x軸對稱，可設(shè)，代入到圓O中，用表示；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，根據(jù)的取值范圍即可得到的最小值。

（3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，可知 與 相似，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和勾股定理，在和中，聯(lián)立方程求得r的值；設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求出直線方程。

詳解：（1）當(dāng) 時(shí)，

由 得，

（2）由對稱性，設(shè)，則

所以

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為

（3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則

則，從而 ，不妨記，

在中即①

在中即②

由①②解得

由題直線的斜率不為0，可設(shè)直線的方程為： ，由點(diǎn)A到直線 的距離等于

則，所以，從而直線的方程為