Question

【題目】已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù)) ．

（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；

（II）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)．

（III）若，且對任意的，都有，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，當(dāng)時(shí)，取等號;(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根;(Ⅲ)

【解析】試題分析：（I）把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（II）方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù), 設(shè)=，求導(dǎo)話簡圖，利用數(shù)形結(jié)合討論即可得解；
（III）a>0， 等價(jià)于，原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)， 恒成立，即在時(shí)恒成立，進(jìn)而求函數(shù)最值即可.

試題解析：

（I），

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞增.

又，

故，當(dāng)時(shí)，取等號.

（II）易知，故，方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)。

設(shè)=，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)遞增。又， ，作出與直線的圖像，

由圖像知：

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；

當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根;

（III）當(dāng)時(shí)， 在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于

即，故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，

恒成立，即在時(shí)恒成立。

在時(shí)是減函數(shù)，所以.

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