【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.
(1)求證:M為PB的中點(diǎn);
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:如圖,設(shè)AC∩BD=O,

∵ABCD為正方形,∴O為BD的中點(diǎn),連接OM,

∵PD∥平面MAC,PD平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,

∴PD∥OM,則 ,即M為PB的中點(diǎn)


(2)解:取AD中點(diǎn)G,

∵PA=PD,∴PG⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,

由G是AD的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),可得OG∥DC,則OG⊥AD.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系,

由PA=PD= ,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0, ),C(2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2, ),

設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為 ,

則由 ,得 ,取z= ,得

取平面PAD的一個(gè)法向量為

∴cos< >= =

∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°


(3)解: ,平面PAD的一個(gè)法向量為

∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos< >|=| |=| |=


【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,則O為BD的中點(diǎn),連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD,再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn);(2)取AD中點(diǎn)G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,再證明OG⊥AD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大。唬3)求出 的坐標(biāo),由 與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.

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