【題目】某中學(xué)調(diào)查防疫期間學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況,從高一、高二年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人,由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(高一)中的值;記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時(shí)間的樣本的方差分別為,,試比較,的大。ㄖ灰髮懗鼋Y(jié)論);
(Ⅱ)估計(jì)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘的概率;
(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,高二學(xué)生鍛煉時(shí)間服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立,設(shè)表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取10人,其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得
②若,則,
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)0.42(Ⅲ)6.826
【解析】
(I)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可判斷方差的大小,利用頻率總和為1即可求出的值;
(II)先設(shè)設(shè)事件:在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘,事件:在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘,根據(jù)圖形數(shù)據(jù)可得到它們的概率,而恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘分兩種情況:一種是這個(gè)人在高一;另一種是這個(gè)人在高二;再不出它們的概率和即可;
(III)利用所給的數(shù)據(jù)分別求出樣本平均數(shù)和樣本方差,代入公式即可求出概率和數(shù)學(xué)期望.
解:(Ⅰ),;
(Ⅱ)設(shè)事件:在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘,
事件:在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘,
事件:在高一、高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,恰有一個(gè)學(xué)生鍛煉時(shí)間大于20分鐘,且另一個(gè)不大于20分鐘,
則,
,
.
(Ⅲ),由條件得,
從而,
從高二中隨機(jī)抽取10人,其鍛煉時(shí)間值位于的概率是0.6826,
根據(jù)題意得,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為菱形,且,,,點(diǎn)在面上的投影恰在上,點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)求證:為線段的中點(diǎn);
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)證明:;
(2)(i)證明:當(dāng)時(shí),對(duì)任意,總有;
(ii)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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【題目】某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行,規(guī)定:初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格,某校有800名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.
(Ⅰ)求獲得復(fù)賽資格的人數(shù);
(Ⅱ)從初賽得分在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人參加學(xué)校座談交流,那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?
(Ⅲ)從(Ⅱ)抽取的人中,選出人參加全市座談交流,設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn)過為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)為直線上的點(diǎn),且滿足為等邊三角形,求邊長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最值;
(2)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若不等式在區(qū)間上恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足條件:|x1x2+y1y2|的最大值為0,則稱f(x)為“柯西函數(shù)”,則下列函數(shù):
①f(x)=x(x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=cosx;
④f(x)=x2﹣1.
其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,半焦距為,過點(diǎn)作軸、軸的垂線,垂足分別點(diǎn),,且四邊形的面積為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),設(shè)直線與直線的傾斜角分別為,,且,求的取值范圍.
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
已知曲線C:(t為參數(shù)), C:(為參數(shù))。
(1)化C,C的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,Q為C上的動(dòng)點(diǎn),求中點(diǎn)到直線
(t為參數(shù))距離的最小值。
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