Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，半焦距為，過(guò)點(diǎn)作軸、軸的垂線(xiàn)，垂足分別點(diǎn)，，且四邊形的面積為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的傾斜角分別為，，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）四邊形的面積為2.得到，離心率，聯(lián)解可得;

（2）直線(xiàn)的方程為,與橢圓方程聯(lián)解，設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)得，由，利用根與系數(shù)關(guān)系代入化簡(jiǎn)可得，再求出的表達(dá)式，利用兩角和的正切公式可得解.

（1）∵四邊形的面積為，∴.①

∵橢圓：的離心率為，∴.②

聯(lián)系①②，解得，.∴.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）得，.當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，直線(xiàn)的方程為，

此時(shí)直線(xiàn)與橢圓相切，與題意不符；

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為.

由

得.

設(shè)點(diǎn)，，則

所以

.

故.

.

∴.

又∵，∴的取值范圍為.