Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-10|+|x-20|，且滿足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求證a^ab^b＞a^bb^a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值三角不等式得|x-10|+|x-20|≥|（x-10）-（x-20）|=10，求得最小值；
（2）運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不妨設(shè)a＞b＞0，則a-b＞0且$\frac{a}$＞1，則$（\frac{a}）^{a-b}$＞1恒成立．

解答 解（1）要使不等式|x-10|+|x-20|＜10a+10的解集不是空集，
則（|x-10|+|x-20|）_min＜10a+10，
根據(jù)絕對值三角不等式得：|x-10|+|x-20|≥|（x-10）-（x-20）|=10，
即（|x-10|+|x-20|）_min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，實數(shù)a的取值集合為A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨設(shè)a＞b＞0，則a-b＞0且$\frac{a}$＞1，
則$（\frac{a}）^{a-b}$＞1恒成立，即$\frac{{a}^{a-b}}{^{a-b}}$＞1，
所以，a^a-b＞b^a-b，
將該不等式兩邊同時乘以a^bb^b得，
a^ab^b＞a^bb^a，即證．

點評 本題主要考查了絕對值三角不等式的應(yīng)用和不等式的證明，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．