Question

【題目】如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30方向的兩條街道，某公園P位于商業(yè)中心北偏東角（），且與商業(yè)中心O的距離為公里處，現(xiàn)要經(jīng)過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A，B兩處。

（1）當(dāng)AB沿正北方向時，試求商業(yè)中心到A，B兩處的距離和；

（2）若要使商業(yè)中心O到A，B兩處的距離和最短，請確定A，B的最佳位置。

Answer 1

【答案】（1）13.5km．（2）商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km

【解析】試題分析：（1）建立直角坐標(biāo)系表示圖中各量關(guān)系是解題關(guān)鍵： ，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km．（2）當(dāng)AB與軸不垂直時，設(shè)AB： ，則,又直線OB的方程為，所以， ，從而，其中，或．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時， 有極小值也是最小值為9km；此時OA=6km，OB=3km，

試題解析：

（1）以O為原點(diǎn)，OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．設(shè)，

∵， ∴， ，

則， ， 4分

依題意，AB⊥OA，則OA=，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km． 7分

（2）

方法1：當(dāng)AB與軸不垂直時，設(shè)AB： ，①

令，得；由題意，直線OB的方程為，②

解①②聯(lián)立的方程組，得，∴，

∴，由， ，得，或． 11分

，令，得，

當(dāng)時， ， 是減函數(shù)；當(dāng)時， ， 是增函數(shù)，

∴當(dāng)時， 有極小值為9km；當(dāng)時， ， 是減函數(shù)，結(jié)合（1）知km．

綜上所述，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km，

方法2：如圖，過P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，設(shè)∠BAO= ，

△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，

△PNA中∠NPA=120°- ∴得

同理在△PMB中， ，得，

， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即即時取等號．

方法3：若設(shè)點(diǎn)，則AB： ，得，

∴， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．

方法4：設(shè)，AB： ，得，

， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．

答：A選地址離商業(yè)中心6km，B離商業(yè)中心3km為最佳位置． 15分