【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x3+ax2+bx+c圖像上的點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=﹣3x+1.
(1)若函數(shù)f(x)在x=﹣2時(shí)有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,0]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)=﹣3x2+2ax+b,
函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為﹣3,
∴f′(1)=﹣3+2a+b=﹣3,即2a+b=0,
又f(1)=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1.
∵函數(shù)f(x)在x=﹣2時(shí)有極值,
∴f′(﹣2)=﹣12﹣4a+b=0,
聯(lián)立 ,
解得a=﹣2,b=4,c=﹣3,
∴f(x)=﹣x3﹣2x2+4x﹣3
(2)解:∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,0]上單調(diào)遞增,
∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)=﹣3x2﹣bx+b在區(qū)間[﹣2,0]上的值恒大于或等于零,
則 ,
解得b≥4,
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4,+∞)
【解析】(1)f′(x)=﹣3x2+2ax+b,由函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為﹣3,可得f′(1)=﹣3;又f(1)=﹣1+a+b+c=﹣2;由函數(shù)f(x)在x=﹣2時(shí)有極值,可得f′(﹣2)=0,聯(lián)立解得即可.(2)由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,0]上單調(diào)遞增,可得導(dǎo)函數(shù)f′(x)=﹣3x2﹣bx+b在區(qū)間[﹣2,0]上的值恒大于或等于零,因此 ,解得即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30方向的兩條街道,某公園P位于商業(yè)中心北偏東角(),且與商業(yè)中心O的距離為公里處,現(xiàn)要經(jīng)過(guò)公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A,B兩處。
(1)當(dāng)AB沿正北方向時(shí),試求商業(yè)中心到A,B兩處的距離和;
(2)若要使商業(yè)中心O到A,B兩處的距離和最短,請(qǐng)確定A,B的最佳位置。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某租賃公司擁有汽車(chē)100輛.當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí),可全部租出.當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí),未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛.租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.
(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí),能租出多少輛車(chē)?
(2)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
由算得, .
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
則參照附表,得到的正確結(jié)論應(yīng)是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,已知tanA,tanB是關(guān)于x的方程x2+(x+1)p+1=0的兩個(gè)實(shí)根.
(1)求角C;
(2)求實(shí)數(shù)p的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|lgx|﹣( )x有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 , 則有( )
A.x1x2<0
B.x1x2=1
C.x1x2>1
D.0<x1x2<1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.觀察圖象可知函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是( 。
A.[﹣5,0]∪[2,6),[0,5]
B.[﹣5,6),[0,+∞)
C.[﹣5,0]∪[2,6),[0,+∞)
D.[﹣5,+∞),[2,5]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】連續(xù)2次拋擲﹣枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6).則事件“兩次向上的數(shù)字之和等于7”發(fā)生的概率為
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