Question

已知對于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b），且f（0）≠0．
（1）求證f（x）為偶函數(shù)；
（2）若存在正數(shù)m使得f（m）=0，求滿足f（x+T）=f（x）的一個值T（T≠0）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先根據(jù)f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）得到f（-x）=f（x），從而很容易得到函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）問題就是：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T為何值呢？T與 m又有何關(guān)系？不難發(fā)現(xiàn)一個特殊函數(shù)f（x）=cosx滿足題設條件，且cos0=1，而f（

π

2

）=0，又y=cosx為周期函數(shù)且周期為2π，它是

π

2

的4倍，于是猜想f（x）是以4m為周期的周期函數(shù)．故在條件式中令a=m，b=x，即可得到T=4m．

解答： （1）證明：令a=b=0，得2f（0）=2f²（0）．
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令a=0，b=x，則f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)．
（2）解：在條件式中令a=m，b=x，
則f（m+x）+f（m-x）=2f（m）f（x）=0，
故f（m+x）=-f（m-x）．
令x取m+x，則
f（2m+x）=-f（-x）=-f（x）．
∴f（4m+x）=-f（2m+x）=-（-f（x））=f（x），
于是f（x）是以4m為周期的周期函數(shù)．
則T可取4m．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，對抽象的問題若一般性難以解決的問題，不妨剖析一個特殊情形，進而可望從結(jié)論或方法上得到某種啟發(fā)，亦可構(gòu)造一個滿足條件的特殊模型，從中發(fā)現(xiàn)寓于一般情形之中的隱含性質(zhì)．