Question

在三棱錐O-ABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直．OA=2，OB=

6

，直線AC與平面OBC所
成的角為45°．
（Ⅰ）求證：OB⊥AC；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，從而OB⊥平面OAC，由此能證明OB⊥AC．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角O-AC-B的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵OA，OB，OC兩兩垂直，
即OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，
∴OB⊥平面OAC，
又AC?平面OAC，∴OB⊥AC．
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意得B（

6

，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），

AB

=（

6

，0，-2），

AC

=（0，2，-2），
設(shè)平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AB = 6 x-2z=0 n • AC =2y-2z=0

，取y=1，得

n

=（

6

3

，1，1），
由題意得平面AOC的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

m

，

n

＞=

6 3

8 3

=

1

2

，
∴二面角O-AC-B的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．