Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC= sinA．
（1）求角B的值；
（2）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值時角A，C的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵由已知及C=π﹣（A+B）可得：

sin（A﹣B）+sinC=sin（A﹣B）+sin（A+B）

=sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB

=2sinAcosB= sinA…3分

∵A是三角形的內角，sinA≠0，

∴cosB=

∴由B∈（0，π），可得B=

（2）解：∵由余弦定理可得：a2+c2﹣ ac=4，且ac≤ ，

∴4=a2+c2﹣ ac≥（a2+c2）﹣ （a2+c2）=（1﹣ ）（a2+c2），

∴a2+c2≤ =8 （當且僅當a=c時，等號成立），

∴當A=C= 時，a2+c2的最大值是8

【解析】（1）由已知及三角形內角和定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得2sinAcosB= sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，結合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．（2）由余弦定理及基本不等式可得：a2+c2﹣ ac=4，且ac≤ ，從而可得4≥（1﹣ ）（a2+c2），即可解得a2+c2的最大值．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．