Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，若D₁P⊥平面PCE，試求線段D₁P的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用D₁P⊥平面PCE，確定P的坐標(biāo)，從而可求線段D₁P的長(zhǎng)．

解答： 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D₁（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．
設(shè)P（x，y，2），則

D1P

=（x，y，0），

EP

=（x-2，y-1，2），

EC

=（-2，1，0）
因?yàn)镈₁P⊥平面PCE，所以D₁P⊥EP，D₁P⊥EC，
所以

x(x-2)+y(y-1)=0 -2x+y=0

，解得

x=0 y=0

（舍去）或

x= 4 5 y= 8 5

即P（

4

5

，

8

5

，2），所

D1P

=（

4

5

，

8

5

，0），
所以|

D1P

|=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求線段的長(zhǎng)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間點(diǎn)，線，面之間的關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．