Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值：

（2）求證：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)：

（3）設(shè)，若在單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；.（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，將橫坐標(biāo)帶入結(jié)合切線方程的斜率即可求得的值，進(jìn)而可得切點(diǎn)坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可得的值.

（2）令，再求得，由導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可得的單調(diào)區(qū)間.由可得的最小值符號(hào)，再由及零點(diǎn)存在定理可判斷在有一個(gè)零點(diǎn)；表示出，并構(gòu)造函數(shù)，由的符號(hào)可得的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知在有一個(gè)零點(diǎn)，從而證明出結(jié)論.

（3）由題意可得的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，并求得，再構(gòu)造函數(shù)，并由的符號(hào)可判斷的單調(diào)情況，從而由的最值判斷出的符號(hào)，即可得的單調(diào)情況.對(duì)分類(lèi)討論，從而由的符號(hào)得符合題意的的取值范圍.

（1）函數(shù).

則，

由條件知，所以，

，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.

把代入，

解得.

（2）證明：令，

則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以.

又，所以在有一個(gè)零點(diǎn).

又，

令，則，

所以在單調(diào)遞減，故，

即，所以在有一個(gè)零點(diǎn).

于是可知：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，

，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

因此，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)（在處取得極大值，在處取得極小值）.

（3），

令，

則，

令，當(dāng)時(shí)，，

單調(diào)遞增，，

所以，在單調(diào)遞增，

于是可得，

①若，則，，

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，

所以

，

令，

當(dāng)時(shí)，，

故單調(diào)遞減，所以，解得，

②若，則，

，

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以，

當(dāng)，時(shí)，

，

所以，即，滿足題設(shè).

③若，則存在唯一確定的，使得.

當(dāng)時(shí)，，即存在，，

但，這與在單調(diào)遞減矛盾，不合題意.

綜上所述，.